15 May 2017

Het A4-formaat van de oudheid tot nu

Het genormeerde papierformaat waartoe het A4'tje behoort is een wonder van elegantie en logica. Het uitgangspunt is zeer rationeel: de verhouding tussen de afmetingen blijft dezelfde als men het blad zo dubbelvouwt dat de langste zijde gehalveerd wordt. Is h de hoogte en b de breedte, dan is de vereiste dus: h/b=b/(h/2), waaruit volgt h2=2 b2, m.a.w. h=b√2. Bij elk blad uit de serie is de hoogte dus gelijk aan de breedte vermenigvuldigd met √2, wat ongeveer 1,4142 is. Om het helemaal te normeren wordt het beginblad A0 zo gedefinieerd dat zijn oppervlakte 1 m2 is. Die oppervlakte is h2/√2, en als dit 1 m2 is, dan is h=21/4 m en b=2-1/4  m, zijnde (op de dichtste mm afgerond) 1189 mm en 841 mm. De serie wordt voortgezet met A1 (1 keer dubbelgevouwen), A2 (nog een keer gevouwen, dus in het totaal 2 keer), enzovoort. Voor dagelijks gebruik: A4 is een A0-blad dat 4 keer gevouwen is, bijgevolg met oppervlakte 1/16 van een vierkante meter. Zijn hoogte is 21/4/(√2)4, zijnde 297 mm, zijn breedte 21/4/(√2)5, zijnde 210 mm.

Het systeem is prachtig door de combinatie van een rationele wiskundige vereiste (verhouding blijft onveranderd bij dubbelvouwen) met de rationele lengtemaat 'meter', die zeer logisch uit de omtrek van de aarde afgeleid is. Ook de nummering is zeer doorzichtig: het cijfer bij de A geeft aan hoeveel keer het oorspronkelijke blad gevouwen is. Vergelijk dat eens met het middeleeuwse systeem dat in de Angelsaksische landen in gebruik is (...en dat bijgevolg ook de computerwereld teistert met zijn duimen). Wat de letter "A" betreft: naast A0 bestaan ook nog B0, C0 en D0, alle verder onderverdeeld.

Het A-formaat gebaseerd op √2 werd aanvankelijk als onesthetisch beschouwd, maar ik geloof niet dat iemand vandaag dat nog vindt. Dat vond men in de oudheid en in de renaissance evenmin, want het is het enige irrationale formaat dat vernoemd wordt naast de eenvoudige rationale formaten die de voorkeur hadden. Om meteen maar de grootste autoriteit te citeren: Vitruvius (Boek VI, Hoofdstuk III, 3) vernoemt drie afmetingen voor een atrium, met verhoudingen respectievelijk 3:2, 5:3 en √2:1. En zo komt het dat men het A4-formaat kan aantreffen in 1521, in de Vitruviusuitgave van Cesariano. Hieronder v.l.n.r. de formaten 5:3, 3:2 en √2:1 a.k.a. A4.


En de grote Palladio vernoemt zeven vormen voor kamers: behalve de cirkelvorm en het vierkant ook nog rechthoeken in de verhoudingen (van klein naar groot)

1:2, 3:5, 2:3, 1:√2, 3:4

Het blijkt dat √2:1 de enige irrationale verhouding is die in de renaissance gepropageerd werd, zonder twijfel omdat het de enige is die bij Vitruvius voorkomt. (Wittkower 1960, hier.)

Tot de talloze misverstanden rond de gulden snede behoort ook de mening dat het A4-formaat erop berust. Om daar in te tuinen is vereist dat men √2 niet kan onderscheiden van (√5+1)/2. Hieronder een fraai voorbeeld. 



Het is overigens niet altijd domheid waardoor men √2 met (√5+1)/2 identificeert. Sommige mensen zijn, à la Zeising, zo overtuigd van de gulden mythe, dat zij de werkelijkheid graag plooien tot zij (ongeveer) past—wat altijd lukt, want alles is 'ongeveer de gulden snede'. Zo schreef in 1970 iemand, zich het onderscheid tussen beide realiserend: this rectangle [A4] is not seriously different in shape from the golden rectangle. Tja. Dezelfde krachttoer heeft iemand in 1992 zelfs uitgehaald met √3, dit getal beoordelend als fairly near in value to the golden section[Beide in Albert van der Schoot, De ontstelling van Pythagoras p. 382] Nu we toch over 'wishful thinking' bezig zijn: in De geheime code van Priya Hemenway (Nederlandse vertaling) vernemen we (p.11) 
De gulden snede komt al voor in de verhalen van het Oude Testament. In Exodus 25:10 beveelt God Mozes om de Ark des verbonds te bouwen [hier volgt het bijbelcitaat]. Deze maten leveren een vorm in de exacte verhouding van de gulden snede.
De opgegeven maten zijn 1,5 x 1,5 x 2,5, zijnde 3:3:5. De goddelijke voorkeur gaat dus uit naar 3/5, ook bij Vitruvius en Palladio geliefd, maar allerminst de gulden snede!

Om terug te keren naar A4. De definiërende vereiste is, dat men de verhouding terugvindt als men de rechthoek dubbelplooit. Dat lijkt mij visueel veel sprekender dan de gulden vereiste dat men de verhouding terugvindt als men van de rechthoek het grootst mogelijke vierkant afknipt!


*
*   *