10 May 2017

Adolf Zeising, uitvinder van de mythische Gulden Snede

Als esthetisch ideaal is de gulden snede geen erfenis van de oudheid, maar een uitvinding van de Romantiek. [Albert van der Schoot, De ontstelling van Pythagoras, achterplat.] Inderdaad, dit wereldwijd succesnummer is een 19de eeuwse Duitse uitvinding, getekend: Adolf Zeising. Zeising had letterkunde en (Hegeliaanse) wijsbegeerte gestudeerd, en was gymnasiumleraar alvorens hij van zijn pen kon leven. Hij schreef proza, poëzie en toneelstukken, en publiceerde daarnaast ook over de meest uiteenlopende onderwerpen. In 1854 vond hij dus de gulden snede uit. Hij zegt het zelf, want zijn boek (hier te consulteren) heet in vertaling:
Nieuwe leer over de verhoudingen van het menselijk lichaam, ontwikkeld uit een morfologische basiswet die men tot nu toe niet onderkend had, en die de hele natuur en kunst doordringt.  
Die 'morfologisch basiswet' is de verdeling volgens de gulden snede. Kepler had eerder al de rij van Fibonacci (en dus onvermijdelijk ook enigszins de gulden snede) in verband gebracht met de levende natuur, maar Zeising maakt er echt een allesomvattend principe van. Hij verdient daarmee de titel van uitvinder, want in de voorafgaande millennia (Kepler misschien enigszins uitgesloten) was de gulden snede iets louter wiskundigs geweest. Pacioli's boek De goddelijke verhouding ging over (pompeus ingeklede) wiskunde, en ook de flatterende benaming gulden snede duikt voor het eerst op in een 19de eeuws Duits boek van wiskunde. Dat alles verandert dus met Zeising.

Zeisings uitgangspunt is, zoals uit zijn titel blijkt, het menselijk lichaam. Hij kon daarvoor aansluiten bij de Romeinse architect Vitruvius, die als eerste geponeerd had dat "het" menselijk lichaam (de hoogste creatie in de schepping) gekenmerkt wordt door eenvoudige verhoudingen, en dat hetzelfde moet gelden voor menselijke bouwwerken, in het bijzonder tempels. Voorbeelden of argumenten geeft Vitruvius niet, behalve dan dat de (toenmalige) maten "el", "voet", "duim" enzovoort afgeleid zijn van het menselijk lichaam. Erg overtuigend als universele maatstaf is het niet, vooral als men bedenkt dat elke stad haar eigen "voet" had. In elk geval, in kringen van Hegeliaanse filosofen was de mens als schoonheidsideaal (eerder dan als geëvolueerd viervoetig zoogdier) in 1854 blijkbaar nog een evidentie. Zowel bij Vitruvius als bij Zeising gaat het om een ideaal lichaam, waarvan Griekse marmeren atleten de beste benaderingen vormen. Beiden nemen de totale lichaamslengte, van de voetzolen tot de kruin, als lengte-eenheid. Bij Vitruvius zijn alle verhoudingen eenvoudige breuken. In zijn beschrijving van het lichaam vernoemt hij: 1/10, 1/8, 1/6, 1/4, 1/3. Da Vinci, die de Vitruviaanse man zijn meest perfecte vorm gegeven heeft, gebruikt daarbij ook nog 1/7 (o.m. voor de voet, waar Vitruvius 1/6 had), en 1/14.

Vitruvius beschouwt de navel als het middelpunt van een mens die met de armen en benen uitgestrekt neerligt. Details geeft hij niet, en de positie van de navel mogen we niet vernemen. Latere commentatoren van Vitruvius, die zijn duister proza met een tekening willen verduidelijken, situeren de navel op een hoogte van 3/5. Da Vinci specificeert de navel evenmin, maar uit de analyse van zijn cirkel blijkt dat die op een hoogte 0.60622... ligt, ongeveer 1/160 boven de "simpele" 3/5.

De canon van Vitruvius is natuurlijk gebaseerd op observaties van "het" menselijk lichaam, maar het blijft een meetkundige idealisering, waar hoogstens tekenaars en beeldhouwers enige praktische vuistregels kunnen uit halen. Voor, bijvoorbeeld, de navel: op 3/5 van de hoogte of 1 handlengte boven de pubis. Zelfs Da Vinci, die een meetkundige krachttoer wil uithalen door zijn man-in-een-cirkel bovenop zijn man-in-een-vierkant te tekenen, wijkt daar maar uiterst weinig van af. Wie die krachttoer niet wil overdoen blijft het best bij 3/5=0,6 als vuistregel. Vindt men dat te laag of wil men het ingewikkelder maken, dan 5/8=0.625. Vindt u dat te hoog, neem dan het gemiddelde van beide, 49/80=0,6125. (Dit is 5/8-1/80, en zou goed te construeren zijn in het 8x8 rooster dat voor Da Vinci volstond.) Wilt u het echt zeer ingewikkeld maken, dan (√5-1)/2=0,61803... Dat laatste heeft Zeising dus gedaan.

Zijn eenheid (de lichaamshoogte) wordt verdeeld met de gulden snede (wat de navel oplevert), waarna beide stukken opnieuw verdeeld worden met de gulden snede en zo een aantal keer verder. Door voldoende onder te verdelen en te combineren kan men bij benadering gelijk welke lengte in dat systeem terugvinden. Dat is trouwens met elke maatstaf zo. Met de meter als eenheid en een herhaalde onderverdeling in 10 drukt men toch ook elke lengte zo nauwkeurig uit als men wil? Bij Zeising gaat het dus met machten van φ. Wegens de kenmerkende eigenschap φ2=1-φ kunnen alle machten van φ uitgedrukt worden in de gedaante a+bφ (zie tabel hieronder). Zeising drukt zijn lengten uit in duizendsten van de hoogte, die dus per definitie "1000" eenheden telt. Hij heeft alle getallen naar beneden afgerond, behalve 0.00467... waar hij 5 (een Fibonaccigetal!) van maakt. In de eerste drie kolommen hieronder is elk getal het verschil van de twee die erboven staan. Voor de cijfers in de vierde kolom klopt dat, door de afrondingen, niet overal. Ondanks Zeisings ingreep in het laatste getal (5 i.p.v. 4) bevat de laatste kolom maar voor de helft Fibonaccigetallen: 5, 8, 13, 21, 34, 55 zijn het wel, maar vanaf 90 loopt het mis.



In 1854 werd de Vitruviaanse man dus herboren als de Zeisingiaanse man, hieronder te bewonderen met alle verticale maten erbij. Hoe meer naar rechts, hoe verder de onderverdeling is doorgevoerd en hoe kleiner de getallen zijn die Zeising uit de bovenstaande tabel haalt.




In de onderstaande tabel geven we de maat van enkele lichaamsonderdelen volgens Vitruvius en volgens Zeising. (Bij Zeising vraagt dat enig rekenwerk: optellen en machten van φ herleiden.)


Als theoretisch model zijn beide even verdienstelijk, want 0.125 of 0.12454 zijn even goed als schatting voor de grootte van "het" mensenhoofd (dat in werkelijkheid in alle uiteenlopende maten en vormen voorkomt). Vitruvius, met zijn eenvoudige breuken, levert praktische vuistregels maar Zeising is eleganter doordat zijn maten—mits wat gepuzzel—in een samenhangend systeem passen, en niet zoals bij Vitruvius uit de lucht komen vallen.

Zeising drijft zijn normeringsdrift wel zeer ver. Hieronder, bijvoorbeeld, de voet.




Veel erger is, dat hij in zijn arbitrair normsysteem een universele wet ziet, die de hele natuur en kunst doordringt zoals het in zijn titel staat. Als bepaalde mensenrassen niet aan de wet voldoen, dan is dat doordat de natuur, in haar streven naar het gulden ideaal, ofwel nog niet ver genoeg gevorderd is ofwel over haar doel geschoten is, wat naderhand nog bijgestuurd moet worden. Het klinkt (en is) ongelooflijk onnozel, maar zo staat het er echt (p.310). Ook moet men de dingen niet alleen bij het juiste ras, maar ook op het juiste moment observeren. Een kind voldoet namelijk nog niet, en een grijsaard niet meer aan de Wet van Zeising, en ook de oudheid was perfecter dan de moderne tijd.

De universele Wet van Zeising beschrijft het mensenlichaam in alle details van kop tot teen, ook zijdelings en in de breedte, en omvat daarnaast evengoed planetenbanen, de vorm van de continenten, planten en dieren. Hieronder (p. 384) het Gulden Paard.



Ook van de taaie gulden kunstkwakkels heeft Zeising de primeur op zijn naam staan. De eerste standbeelden met z.g. gulden proporties duiken op (p. 279) evenals het gulden Parthenon (lees er hier meer over).

Het boek van 450 bladzijden is enorm grondig uitgewerkt, zowel in de diepte als in de breedte, met een overvloed aan cijfers en tabellen. De reactie Dat kan niet anders dan waar zijn! is goed te begrijpen. Om te ontnuchteren volstaat het, dat men naast de tabellen van Zeising ook zijn mystiek gezwets doorneemt, bijvoorbeeld zijn hilarische theorie over de geslachten. Ja, wist u dan niet dat de man gedomineerd wordt door de zwaartekracht en de vrouw door evenwicht? het mannenlichaam door de bovenste helft en verticale maten, het vrouwenlichaam door de onderste helft en horizontale maten? Meer uitleg bij Adolf Zeising.

*